ror竞猜:[数列怎么用差分方程]怎么用差分方程求出斐波那_吉林市

2021-08-18 10:07:48 admin 阅读()

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[数列怎么用差分方程]叨教递推数列实质是不是差分方程的

在数学上,递推关系(recurrence-relation),也就是差分方程(difference-equation),是一种递推地界说一个序列的方程式:序列的每一项目是界说为前一项的函数。某些简朴界说的递推关系式可能会显示出异常庞大的(混沌的)性子,他们属于数学中的非线性剖析领域。所谓解一个递推关系式,也就是求其剖析解,即关于n的非递归函数。递推数列是差分方程的y'

=x这叫微分方程y(n)-3y(n-1) 2y(n-2)=n这叫差分方程递推数列跟差分方程有许多情形都是重合的。因此,有时可以用差分方程解法来求解递推数列的通项公式。

[数列怎么用差分方程]怎么用MATLAB画差分方程和阶跃函数的图

代码%好比这个差分方程:y(n)=2x(n)-3x(n-1) 2x(n-2)%%输入为阶跃函数:x(n)=u(n)={0

,n<0%%{1,n>=0%%把这两个的图都画出来该怎么画clc;clear-all;close-all;n

=-10:0.1:10;x=zeros(size(n));x(n>=0)=1;x1=x(2:end-2);x2

=x(1:end-3);x=x(3:end-1);y=2*x-3*x1 2*x2;figure;plot(x);figure;

[数列怎么用差分方程]若何用EVIEWS对一时间序列举行一阶差分啊

举行一阶差分,直接在下令窗口内里输入下令:GENR差分后时间序列名=D(差分前时间序列名)这样便在事情区间里会天生一个新的工具,即差分后的时间序列。希望对你有辅助!

[数列怎么用差分方程]怎么用差分方程求出斐波那契数列的通项公式

斐波那契数列数列的纪律是A(n 1)=An A(n-1)我们希望能把它凑成一个等比数列的情形,即A(n 1)-aAn=b(An-aA(n-1))获得这个式子后就可以得出A(n 1)-aAn是等比数列将这个式子睁开A(n 1)=(a b)An-abA(n-1)既有a b=1,ab=-1,凭证一元二次方程根与系数的关系可以获得ab是方程x^2-x-1=0的根以是a=(1 sqrt(5))/2,b=(1-sqrt(5))/2或者b=(1 sqrt(5))/2,a=(1-sqrt(5))/2由于ab在方程中没有任何差异,以是他们的值可以交换,也就是存在两种情形第一种情形A(n 1)-(1 sqrt(5))/2An=(1-sqrt(5))/2*(An-(1 sqrt(5))/2A(n-1))获得A(n 1)-(1 sqrt(5))/2An=((1-sqrt(5))/2)^n*(A1-(1 sqrt(5))/2*A0)……第一个式子第二种情形A(n 1)-(1-sqrt(5))/2An=(1 sqrt(5))/2*(An-(1-sqrt(5))/2A(n-1))获得A(n 1)-(1-sqrt(5))/2An=((1 sqrt(5))/2)^n*(A1-(1-sqrt(5))/2*A0)……第二个式子第一个式子减第二个式子,把A(n 1)抵消了获得-(1 sqrt(5))/2An (1-sqrt(5))/2An=((1-sqrt(5))/2)^n*(A1-(1 sqrt(5))/2*A0)-((1 sqrt(5))/2)^n*(A1-(1-sqrt(5))/2*A0)-sqrt(5)An=((1-sqrt(5))/2)^n*(1-(1 sqrt(5))/2)-((1 sqrt(5))/2)^n*(1-(1-sqrt(5))/2)-sqrt(5)An=((1-sqrt(5))/2)^(n 1)-((1 sqrt(5))/2)^(n 1)以是An=[((1 sqrt(5))/2)^(n 1)-((1-sqrt(5))/2)^(n 1)]/sqrt(5)

[数列怎么用差分方程]什么叫差分方程

§1基本理

1、差

2、随便数列{xn},界说差分算子Δ如下:Δxn=xn 1-xn对新数列再应用差分算子,有

Δ2xn=Δ(Δkxn).性子性子1Δk(xn yn)=Δkxn Δkyn性子2Δk(cxn)=cΔkxn

性子3Δkxn=∑(-1)jCjkXn k-j性子4数列的通项为n的无限次可导函数,对随便k>=1,存在η,有

Δkxn=f(k)(η)差分方程界说8。1方程关于数列的k阶差分方程:xn-a1xn-1-a2xn-2-……aBxn-k=b(n=k,k 1,……)

其中a1,a2,ak为常数,ak

0、若b=0,则该方程是齐次方程关于λ的代数方程λk-a1λk-1

ak-1λ-ak=0为对应的特征方程,根为特征值。1.实验内容与演习2.1插分例1Xn={n3},求各阶差分数列:

xn△xn△2xn△3xn△4xn171260819186027372460646130612591

36216127343可见,{n3},三阶差分数列为常数数列,四阶为0。演习1对{1},{n},{n2},{n4},{n5},

划分求各阶差分数列。演习2{C0n-1}{C1n-1}{C2n-1},{C4n-1},划分求各阶差分数列.

{Xn}的通项为n的三次函数,Xn=a3n3 a2n2 a1n a0证实它为常数数列。证实由Xn=a3n3 a2n2 a1n a0可直接盘算

。定理8。1若数列的通项是关于n的k次多项式,则k阶差分数列为非零数列,k 1阶差分数列为0。演习3

证实定理8。1。定理8。2若{Xn}的k阶插分为非零常数列,则{Xn}是n的k次多项式,演习4凭证插分的性子证实定理8。2

例2。求∑i3例3例4解设Sn=∑i3表Sn△Sn△2Sn△3Sn△4Sn△5Sn181918609

27372460366461306010012591366022521612742441343169

7845121296设Sn=a4n4 a3n3 a2n2 a1n a0,s1=1,s2=9,s3=36,s4=100,s5=225,得

a0=0,a1=0,a2=1/4,a3=1/2,a4=1/4.以是,Sn=(1/4)n4 (1/2)n3 (1/4)n2.

演习{Xn}的通项Xn为n的k次多项式,证实∑xi为n的k 1次多项式;求∑

4、由演习2{Crn-1}可得。

2.2差分方程对于一个差分方程,若是能找出这样的数列通项,将它带入差分方程后,该方程成为恒等式,这个通项叫做差分方程的解。

例3对差分方程xn-5xn-1 6xn-2=0,可直接验证xn=c13n c22n是该方程的解。例3中的解中含有随便常数,且随便常数的个数与差分方程的阶数相同。这样的解叫做差分方程的通解。

若k阶差分方程给定了数列前k项的取值,则可以确定通解的随便常数,获得差分的特解。例4对差分方程xn-5xn-1 6xn-2=0,若已知x1=1,x2=5,则可以获得该差分方程的特解为xn=3n-2n.

我们首先研究齐次线性差分方程的求解。xn=rxn-1对一阶差分方程x1=a显然有xn=arn-1。因此,若数列知足一阶差分方程,则该数列为一个等比数列。

例5求Fibonacci数列{Fn}的通项,其中F1=1,F2=1,Fn=Fn-1 Fn-2.Fibonacci数列的前几项为:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,…。该数列有着异常普遍的应用。

Fibonacci数列所知足的差分方程为Fn-Fn-1-Fn-2=0,其特征方程为λ2-λ-1=0其根为λ1=

,λ2=.行使λ1λ2可将差分方程写为Fn-(λ1 λ2)Fn-1 λ1λ2Fn-2=0,即Fn-λ1Fn-1=λ2(Fn-1-λ1Fn-2)

数列{Fn-λ1Fn-1}知足一个一阶差分方程.显然()同理可得()由以上两式可解出的通项。演习9证实若数列{

}知足二阶差分方程,其特征方程由两个不相等的根,则为该差分方程的两个特解。从而其通解为。由演习9,若二阶差分方程的特征方程有两个不相等的根,可写出其通解的一样平常性式。再由

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的值可解出其中的系数,从而写出差分方程的特解。演习10详细求出Fibonacci数列的通项,并证实。那么,若二阶线性齐次差分方程有两个相等的根,其解有若何来求呢?

设二阶线性齐次差分方程的特征方程有两个相等的根,则差分方程可写为。差分方程的双方同时除以,有。设,则

(n>=3)。由于该式在n>=3式均确立,我们将它改写为(n>=1)。(8.2)方程(8.2)的左边是

的二阶差分,从而有,于是是n的一次函数,设为则有。上是即为差分方程的通解。演习11证实:若数列{}所知足的三阶差分方程的特征方程由三个相等的根

,则差分方程的通解为。一样平常的,设•••,为差分方程的特征方程所有差其余解,其重数划分为•••,,则差分方程对应于其中的根

(i=1,2,•••,l)的特解•••。对于一样平常的k阶齐次线性差分方程,我们可以通过其特征方程获得上述形式的k个特解,进而获得差分方程的通解。

演习12若数列{}知足差分方程且求{}的通项。例6若实系数差分方程的根为虚数,则其解也是用虚数示意的,这给讨论问题带来未便。差分方程

xn-2xn-1 4xn-2=0的特征值为i.若x1=1,x2=3,由下面的程序易求出其特解为:xn=(

)(1 i)n (-)(1-i)n-Clear[x1,x2,c1,c2,l1,l2,solution];

x1=1;x2=3;solution=Solve[1^2-2l 4==0,1];l1=l/.solution[[1,1]];

l2=l/.solution[[2,1]];c=Solve[{c1*l1 c2*l2==x1,c1*l1^2 c2*l2^2==x2},{c1,c2}];

c1=Simplify[Re[c1]] Simplify[Im[c1]]*I;c2=Simplify[Re[c2]] Simplify[Im[c2]]*I;

Print[“xn=(“,c1,”)(“,l1,”)^n (“,c2,”)(“,l2,”)^n”]解的形式相当庞大,是否可以将它们用实数示意呢?

设=rei,则=re,我们可将(8.4)中的表达式改写为xn=re(2e)n re(2e)\n=r=2r-Cos(

)=(2rCos)=可以看出,通项可以写成的形式.那么,与是不是差分方程的特解呢?演习13验证与是差分方程(8.3)的特解.

对于差分方程(8.3),我们找出了它的两个实型的特解,从而可以将通解示意成实数的形式.这一方式对于一样平常的方程也是确立的.

演习14设的两个特征值为.证实该差分方程的通解可示意为.演习15用实数示意差分方程的特解.上次我们讨论了其次线性差分方程的求解方式.那么,非齐次线性差分方程是否可以化为齐次线性差分方程呢?

演习16若已知非齐次线性差分方程•••(8.5)的一个特解为求证:若令则知足齐次差分方程•••由演习16,若已知非齐次线性差分方程(8.5)的一个特解,就可以将它化为齐次线性差分方程.

显然方程(8.5)的最简朴的形式为(其中p为常数),代入(8.5)得•••若•••则有称p=为非齐次线性差分方程(8.5)的平衡值。在(8.5)中,

令则有由,得.从而可将原来的非齐次线性差分方程化为齐次线性差分方程.若是方程(8.5)的平衡值不存在,可以将方程(8.5)中所有的n换为n 1,获得

(8.6)方程(8.6)和(8.5)相减得.于是可将原来的非齐次线性差分方程化为高一阶的齐次线性差分方程.

演习17划分求差分方程及的通解.2.3代数方程求根由Fibonacci数列的性子,我们可以用来迫近,用这一性子可以来盘算

的近似值。一样平常地,对a>0,可以用组织差分方程的方式来求的近似值.对给定的正数a,设λ1=,λ2=,则λ1

,λ2是方程λ2-2λ (1 a)=0的根.该方程是差分方程的特征方程。于是,选定,行使差分方程可以组织一个数列{

}.演习18证实:若a>1,对随便的>0,>0,若≠,则按上述法组织的数列{}知足.这样,我们获得了盘算

的一个方式:1.给定(作为误差控制),任取初始值,令n=1;2.若,则终止盘算,输出效果;否则,令n

:=n 1,转第3步;3.令,转第2步.演习19对a=1.5,10,12345,用上述方式求.上述方式的收敛速率不够快,我们可以加以改善

设整数u知足,令,则,是方程的两个根.演习20凭证上面的差分方程的构件数列{x},使得.演习21对演习19中的a,用上面的方式来盘算

,并对照两种方式的收敛速率.代数方程(8.7)是差分方程(8.1)的特征方程,是否可以用此差分方程来求解方程(8.7)呢?

设方程(8.7)有k个互不相同的根知足,(8.8)则对应的差分方程的通解形式为.演习22设方程(8.7)的根知足条件(8.8),任取初始值

用差分方程(8.1)(取b=0)组织数列{}.若通解中的系数≠0,证实:.行使演习22获得的结论,我们可以求多项式方程的绝对值最大的根.

演习23求方程的绝对值最大的根.事实上,若方程(8.7)的互不相同的根知足≥≥…≥(其重数划分为),则演习22中的结论仍然确立.

2.4国民收入4国民收入的稳固问题一个国家的国民收入可用于消费,再生产的投资等。一样平常地说,消费与再生产投资都不应该没有限制。合理的控制各部门投资,能够使国民经济处于一种良性循环之中。若何配各部门投资的比例,才气使国民经济处于稳固状态呢?这就是本节要讨论的问题。

我们首先给出一些假设条件:1.国民收入用于消费、再生产投资和公共设施建设三部门。2.记划分为第k个周期的国民收入水平和消费水平。

的值与前一个周期的国民收入成正比例。即=A,(8.9)其中A为常数(0差分方程(difference-equation)就是包罗离散变量函数相继值之间差分的数学等式。(大英百科)原文是:Equation-involving-differences-between-successive-values-of-a

function-of-a-discrete-variable(i.e.,one-defined-for-a

sequence-of-values-that-differ-by-the-same-amount,

usually1).A-function-of-such-a-variable-is-arule-for-assigning-values-in-sequence-to-it.

For-example,f(x 1)=xf(x)is-a-difference-equation.Methods-developed-for-solving-such-equations-have-much-in-common-with-methods-for-solving-linear-differential-equations,

which-difference-equations-are-often-used-to-approximate.数列的递推公式就是差分方程,如a_n

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